Derive. f(x) = x / (x + c / x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como simplificar expressões algébricas e aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função para facilitar a derivação. Olha só:
Podemos simplificar o denominador combinando os termos:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, simplificamos ainda mais dividindo por uma fração, que é o mesmo que multiplicar pelo inverso:

Passo 4

Com a função simplificada, vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que:
onde e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Então:

Passo 8

Simplificando o numerador:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é:

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