Calcule as integrais definidas (Leithold Vol 1 página 352):
Dica: divida o numerador pelo denominador.
integral-3^2 3 x^3-24 x^2+48 x+5x^2-8 x+16 d x

Passo 1

Você tem uma integral definida que envolve uma fração de polinômios. O objetivo aqui é calcular:
integral-3^2 3 x^3-24 x^2+48 x+5x^2-8 x+16 d x
Vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais, especificamente a técnica de divisão polinomial, para simplificar e resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador. Isso significa dividir 3x^3 - 24x^2 + 48x + 5x^2 - 8x + 16 = 3x + 5x^2 - 8x + 16 por 3x + 5x^2 - 8x + 16 .
Dividindo:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
integral-3^2 (3x + 5x^2 - 8x + 16) dx = integral-3^2 3x , dx + integral-3^2 5x^2 - 8x + 16 dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral 3x , dx = 32x^2 + C
Aplicando os limites de -3 a 2:
32(2)^2 - 32(-3)^2 = 32(4) - 32(9) = 6 - 13.5 = -7.5

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 5x^2 - 8x + 16 dx
Primeiro, complete o quadrado no denominador:
x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2
Então, a integral fica:
5 integral 1(x - 4)^2 dx = 5 ( -1x - 4 ) + C
Aplicando os limites de -3 a 2:
5 ( -12 - 4 - -1-3 - 4 ) = 5 ( -1-2 - -1-7 ) = 5 ( 12 - 17 ) = 5 ( 7 - 214 ) = 5 ( 514 ) = 2514

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
-7.5 + 2514 = -152 + 2514 = -10514 + 2514 = -8014 = -407
Portanto, o valor da integral é:
-407

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