Calcule as integrais definidas (Leithold Vol 1 página 352):

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida aqui:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função integranda que, ao ser substituída, simplifique a integral para que possamos resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Isso é equivalente a . Vamos chamar essa expressão inteira de para facilitar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Vamos calcular isso:
Note que no numerador da nossa integral original temos . Podemos notar que , que é exatamente . Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de . Da expressão que encontramos para , podemos resolver para :
Substituindo isso na integral original, temos:

Passo 5

Simplificando a integral, ficamos com:
Agora, podemos integrar em relação a .

Passo 6

A integral de é , onde é a constante de integração. Aplicando isso aqui:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites de integração:
Isso significa que substituímos por 1 e por 0 e subtraímos os resultados.

Passo 9

Calculando para :
Calculando para :
Mas é aproximadamente 1.5874, então:

Resposta

Assim, a integral definida é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Obtenha a parte real e a parte imaginária de:
Escreva cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana :
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
Calcule as integrais definidas (Leithold Vol 1 página 352):
Dica: divida o numerador pelo denominador.
Calcule as derivadas: