Calcule as integrais definidas (Leithold Vol 1 página 352):
integral0^1 y^2+2 yraiz[3]y^3+3 y^2+4 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida aqui:
integral0^1 y^2+2 yraiz[3]y^3+3 y^2+4 , dy
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função integranda que, ao ser substituída, simplifique a integral para que possamos resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: raiz[3]y^3+3 y^2+4. Isso é equivalente a (y^3+3 y^2+4)^1/3. Vamos chamar essa expressão inteira de u para facilitar:
u = y^3 + 3y^2 + 4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a y, que é du/dy. Vamos calcular isso:
dudy = 3y^2 + 6y
Note que no numerador da nossa integral original temos y^2 + 2y. Podemos notar que 3(y^2 + 2y) = 3y^2 + 6y, que é exatamente du/dy. Isso significa que:
du = (3y^2 + 6y) , dy = 3(y^2 + 2y) , dy

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u. Da expressão que encontramos para du, podemos resolver para y^2 + 2y , dy:
y^2 + 2y , dy = du3
Substituindo isso na integral original, temos:
integral y^2+2 yraiz[3]y^3+3 y^2+4 , dy = integral 1raiz[3]u cdot du3

Passo 5

Simplificando a integral, ficamos com:
13 integral u^-1/3 , du
Agora, podemos integrar u^-1/3 em relação a u.

Passo 6

A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso aqui:
13 cdot u^2/32/3 + C = 13 cdot 32 u^2/3 + C = 12 u^2/3 + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original y. Lembrando que u = y^3 + 3y^2 + 4, substituímos de volta:
12 (y^3 + 3y^2 + 4)^2/3 + C

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites de integração:
[ 12 (y^3 + 3y^2 + 4)^2/3 ]0^1
Isso significa que substituímos y por 1 e por 0 e subtraímos os resultados.

Passo 9

Calculando para y = 1:
12 (1^3 + 3 cdot 1^2 + 4)^2/3 = 12 (1 + 3 + 4)^2/3 = 12 (8)^2/3 = 12 cdot 4 = 2
Calculando para y = 0:
12 (0^3 + 3 cdot 0^2 + 4)^2/3 = 12 (4)^2/3 = 12 cdot (2^2)^1/3 = 12 cdot 2^2/3
Mas 2^2/3 é aproximadamente 1.5874, então:
12 cdot 1.5874 approx 0.7937

Resposta

Assim, a integral definida é aproximadamente:
2 - 0.7937 = 1.2063

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