Calcule as integrais duplas abaixo definidas em regiões não retangulares.
$(a)
, onde
.
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. A região
é definida por
e
. Vamos usar o conteúdo de integrais duplas e entender bem os limites para calcular isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O
varia de 1 a 2. Para cada valor de
, o
varia de
até 1. Isso significa que estamos integrando
de uma linha que depende de
até uma constante.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que identificamos:
Aqui, integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo. A integral de
em relação a
é
e a integral de
é
.
Passo 6
Calculando as integrais:
Substituindo
:
Substituindo
:
A diferença é:
Resposta
A integral dupla
vale
.