Calcule as integrais duplas abaixo definidas em regiões não retangulares.
$(a) a, onde onde.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A região é definida por e . Vamos usar o conteúdo de integrais duplas e entender bem os limites para calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O varia de 1 a 2. Para cada valor de , o varia de até 1. Isso significa que estamos integrando de uma linha que depende de até uma constante.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que identificamos:
Aqui, integramos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a :
A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo. A integral de em relação a é e a integral de é .

Passo 6

Calculando as integrais:
Substituindo :
Substituindo :
A diferença é:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados