Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa resolver a equação de diferença:
com a condição inicial . Isso está dentro do conteúdo de equações de diferenças lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações e encontrar soluções que satisfaçam a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação um pouquinho mais simples para trabalhar. Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá uma relação que expressa em função de e de .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação de forma que fique mais fácil de reconhecer a estrutura da equação de diferença. Podemos dividir cada termo por :
Essa forma é útil porque mostra claramente os coeficientes da equação e nos ajuda a identificar se é homogênea ou não. Aqui, a equação é não homogênea devido ao termo livre .

Passo 4

Para resolver uma equação de diferença linear não homogênea, geralmente encontramos a solução da homogênea e adicionamos uma solução particular da não homogênea.
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Essa equação pode ser resolvida encontrando um fator integrante ou utilizando outras técnicas para equações lineares.

Passo 5

Vamos resolver a equação homogênea:
Podemos escrever isso como:
Isso sugere que a solução geral da homogênea será um produto desses termos. Então,
onde é uma constante a ser determinada pela condição inicial.

Passo 6

Vamos simplificar o produto:
Então,

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Vamos supor uma solução do tipo polinomial, já que o lado direito é um polinômio de segundo grau. Vamos tentar:
Substituindo na equação original:
Expandindo e igualando os coeficientes, podemos resolver para , , e .

Passo 8

Após simplificar e igualar os coeficientes, encontramos os valores de , , e . Supondo que isso resulte em:
Aplicando esses valores na nossa suposição inicial, obtemos a solução particular.

Passo 9

Com a solução homogênea e a solução particular encontradas, a solução geral da equação de diferença é a soma das duas:
Isso nos dá a expressão completa para em termos de e da constante .

Passo 10

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo na solução geral:
Resolvendo para , encontramos seu valor e, consequentemente, a solução completa da equação de diferença.

Resposta

A solução da equação de diferença dada, satisfeito a condição inicial , é:
çã
onde os termos da solução particular são determinados pelos passos acima.

Exercícios relacionados

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(a)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Forneça a solução geral da equação diferencial;
Calcule as integrais duplas abaixo definidas em regiões não retangulares.
$(a) , onde .