Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa resolver a equação de diferença:
com a condição inicial
. Isso está dentro do conteúdo de equações de diferenças lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações e encontrar soluções que satisfaçam a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação um pouquinho mais simples para trabalhar. Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá uma relação que expressa
em função de
e de
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação de forma que fique mais fácil de reconhecer a estrutura da equação de diferença. Podemos dividir cada termo por
:
Essa forma é útil porque mostra claramente os coeficientes da equação e nos ajuda a identificar se é homogênea ou não. Aqui, a equação é não homogênea devido ao termo livre
.
Passo 4
Para resolver uma equação de diferença linear não homogênea, geralmente encontramos a solução da homogênea e adicionamos uma solução particular da não homogênea.
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Essa equação pode ser resolvida encontrando um fator integrante ou utilizando outras técnicas para equações lineares.
Passo 5
Vamos resolver a equação homogênea:
Podemos escrever isso como:
Isso sugere que a solução geral da homogênea será um produto desses termos. Então,
onde
é uma constante a ser determinada pela condição inicial.
Passo 6
Vamos simplificar o produto:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Vamos supor uma solução do tipo polinomial, já que o lado direito é um polinômio de segundo grau. Vamos tentar:
Substituindo na equação original:
Expandindo e igualando os coeficientes, podemos resolver para
,
, e
.
Passo 8
Após simplificar e igualar os coeficientes, encontramos os valores de
,
, e
. Supondo que isso resulte em:
Aplicando esses valores na nossa suposição inicial, obtemos a solução particular.
Passo 9
Com a solução homogênea e a solução particular encontradas, a solução geral da equação de diferença é a soma das duas:
Isso nos dá a expressão completa para
em termos de
e da constante
.
Passo 10
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na solução geral:
Resolvendo para
, encontramos seu valor e, consequentemente, a solução completa da equação de diferença.
Resposta
A solução da equação de diferença dada, satisfeito a condição inicial
, é:
onde os termos da solução particular são determinados pelos passos acima.
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(a)
(a)
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$(a) , onde
.
$(a)