Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferença que relaciona termos consecutivos de uma sequência:
. Além disso, sabemos que o primeiro termo da sequência é
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para
que satisfaça essa relação e a condição inicial.
Passo 2
Para resolver essa equação de diferença, vamos analisar como cada termo se relaciona com o anterior. A fórmula dada é
, o que significa que para encontrar
, multiplicamos
por
.
Passo 3
Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Observamos que
parece ser o padrão.
Passo 4
Vamos testar se essa fórmula geral
satisfaz a equação de diferença e a condição inicial.
-
Condição inicial:
-
Equação de diferença:E de acordo com a relação dada:Portanto,
, que coincide com nossa fórmula.
Resposta
A solução da equação de diferença é
para todo
.