Calcule as integrais duplas e ilustre a região de integração: , onde R é a região do primeiro quadrante limitada por e

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como identificar os limites de integração para a região descrita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região :
  1. : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. : Essa é uma reta decrescente que intercepta o eixo y em .
  3. : Esse é o eixo x.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região de integração.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
  1. Interseção de e :
    Substituindo da segunda equação na primeira:

    Rearranjando:
    Resolvendo a equação quadrática:

    Portanto, e . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .
    Substituindo em :
    Então, o ponto de interseção é .
  2. Interseção de e :
    Substituindo na primeira equação:

    Então, o ponto é .
  3. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:

    Então, o ponto é .

Passo 4

Agora, sabemos que a região está limitada pelos pontos , e . Para configurar a integral dupla, vamos decidir a ordem de integração. Optaremos por integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • Para : Varia de até (já que a interseção mais alta em é em ).
  • Para : Para cada valor de , varia da parábola até a reta .

Passo 6

escrevendo a integral com os limites encontrados:

Passo 7

Calculando a integral interna em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Expandindo o produto:

Passo 9

Agora, integramos essa expressão em relação a de a :
Calculando em e :
Para :
Para :

Passo 10

Calculando a expressão para :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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