Calcule as integrais duplas e ilustre a região de integração:
, onde R é a região do primeiro quadrante limitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como identificar os limites de integração para a região descrita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região
:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: Essa é uma reta decrescente que intercepta o eixo y em . -
: Esse é o eixo x.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região de integração.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
-
Interseção de
e :
Substituindoda segunda equação na primeira:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto,e . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .
Substituindoem :
Então, o ponto de interseção é. -
Interseção de
e :
Substituindona primeira equação:
Então, o ponto é. -
Interseção de
e :
Substituindona segunda equação:
Então, o ponto é.
Passo 4
Agora, sabemos que a região
está limitada pelos pontos
,
e
. Para configurar a integral dupla, vamos decidir a ordem de integração. Optaremos por integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 5
Determinar os limites de integração:
- Para
: Varia de até (já que a interseção mais alta em é em ). - Para
: Para cada valor de , varia da parábola até a reta .
Passo 6
escrevendo a integral com os limites encontrados:
Passo 7
Calculando a integral interna em relação a
:
Simplificando:
Passo 8
Expandindo o produto:
Passo 9
Agora, integramos essa expressão em relação a
de
a
:
Calculando em
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Calculando a expressão para
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Calcule as integrais
onde
. S:
Simplifique:
A velocidade da luz é
. Escreva a velocidade da luz em notação científica;
Reduza a termos de menor grau: