Calcule as integrais duplas e ilustre a região de integração: integral duplaR(y+1) d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada por y^2=x, y=-x+2 e y=0 s: 19 / 12

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla integral duplaR(y+1) , dA, onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas y^2 = x, y = -x + 2 e y = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como identificar os limites de integração para a região descrita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região R:
  1. y^2 = x: Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. y = -x + 2: Essa é uma reta decrescente que intercepta o eixo y em (0,2).
  3. y = 0: Esse é o eixo x.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região de integração.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração.
  1. Interseção de y^2 = x e y = -x + 2:
    Substituindo x da segunda equação na primeira:
    y^2 = -y + 2
    Rearranjando:
    y^2 + y - 2 = 0
    Resolvendo a equação quadrática:
    y = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
    Portanto, y = 1 e y = -2. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos y = 1.
    Substituindo y = 1 em y = -x + 2:
    1 = -x + 2 implies x = 1
    Então, o ponto de interseção é (1,1).
  2. Interseção de y^2 = x e y = 0:
    Substituindo y = 0 na primeira equação:
    0 = x implies x = 0
    Então, o ponto é (0,0).
  3. Interseção de y = -x + 2 e y = 0:
    Substituindo y = 0 na segunda equação:
    0 = -x + 2 implies x = 2
    Então, o ponto é (2,0).

Passo 4

Agora, sabemos que a região R está limitada pelos pontos (0,0), (1,1) e (2,0). Para configurar a integral dupla, vamos decidir a ordem de integração. Optaremos por integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • Para y: Varia de 0 até 1 (já que a interseção mais alta em y é em y = 1).
  • Para x: Para cada valor de y, x varia da parábola x = y^2 até a reta x = -y + 2.

Passo 6

escrevendo a integral com os limites encontrados:
integral duplaR(y+1) , dA = integraly=0^1 integralx=y^2^-y + 2 (y + 1) , dx , dy

Passo 7

Calculando a integral interna em relação a x:
integralx=y^2^-y + 2 (y + 1) , dx = (y + 1) [ x ]x=y^2^-y + 2 = (y + 1) ( (-y + 2) - y^2 )
Simplificando:
(y + 1)(-y + 2 - y^2) = (y + 1)(-y^2 - y + 2)

Passo 8

Expandindo o produto:
(y + 1)(-y^2 - y + 2) = -y^3 - y^2 + 2y - y^2 - y + 2 = -y^3 - 2y^2 + y + 2

Passo 9

Agora, integramos essa expressão em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 (-y^3 - 2y^2 + y + 2) , dy = [ -y^44 - 2y^33 + y^22 + 2y ]0^1
Calculando em y = 1 e y = 0:
Para y = 1:
-14 - 23 + 12 + 2 = -14 - 23 + 12 + 2
Para y = 0:
0 - 0 + 0 + 0 = 0

Passo 10

Calculando a expressão para y = 1:
-14 - 23 + 12 + 2 = -312 - 812 + 612 + 2412 = -3 -8 +6 +2412 = 1912

Resposta

O valor da integral dupla é 1912.

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