Calcule as integrais
onde
. S:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. O enunciado define a região
como todas as coordenadas
que satisfazem
. Isso significa que estamos olhando para a área entre dois círculos, um com raio 1 e outro com raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares. Vamos precisar converter
e
para
e
, além de lembrar que em polares,
.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. As fórmulas de conversão são:
E o elemento de área
em cartesianas vira
em polares. Nossa integral fica então:
Aqui,
substitui
e multiplicamos por
por causa do elemento de área.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral:
Primeiro, resolvemos a parte interna da integral, que é em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: