Calcule as integrais integral duplaR(x^2+y^2) d x d y onde R=(x, y) in R^2 / 1 <= x^2+y^2 <= 4. S: 15 pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado define a região como todas as coordenadas que satisfazem . Isso significa que estamos olhando para a área entre dois círculos, um com raio 1 e outro com raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares. Vamos precisar converter e para e , além de lembrar que em polares, .

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. As fórmulas de conversão são:
x = r costheta
y = r sintheta
E o elemento de área integral duplaR (x^2 + y^2) dx dy = integral0^2pi integral1^2 r^2 cdot r, dr, dtheta em cartesianas vira em polares. Nossa integral fica então:
Aqui, substitui e multiplicamos por por causa do elemento de área.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral:
integral0^2pi integral1^2 r^3 dr dtheta
Primeiro, resolvemos a parte interna da integral, que é em relação a integral1^2 r^3 dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 :

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2pi 154 dtheta = 154 cdot [ theta ]0^2pi = 154 cdot 2pi = 15pi2

Resposta

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