Calcule as integrais duplas e triplas.
integral dupla(2 x-y) d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2= 4 e as retas x=0 e y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você mencionou! A gente precisa calcular sobre a região que está no primeiro quadrante, limitada pelo círculo e pelas retas e . Aqui, vamos usar o conteúdo de integrais duplas e coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . No primeiro quadrante, o círculo tem raio 2. As retas (eixo y) e definem os limites dessa região. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares onde:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para integralpi4^pi2 integral0^2 (2rcostheta - rsintheta) cdot r,dr,dtheta e :
  • varia de (linha ) até (eixo y).
  • Para cada , vai de 0 até 2 (raio do círculo).
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2rcostheta - rsintheta) cdot r = 2r^2costheta - r^2sintheta
Então, a integral fica:
integralpi4^pi2 (2r^2costheta - r^2sintheta) dr,dtheta

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integral0^2 2r^2costheta,dr = 2costheta cdot [r^33]0^2 = 2costheta cdot 83 = 163costheta :
integral0^2 -r^2sintheta,dr = -sintheta cdot [r^33]0^2 = -sintheta cdot 83 = -83sintheta
163costheta - 83sintheta
Combinando, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integralpi4^pi2 (163costheta - 83sintheta) dtheta = 163sintheta + 83costheta g|pi4^pi2 :
163sin(pi2) + 83cos(pi2) = 163(1) + 83(0) = 163
Calculando nos limites:
Para 163sin(pi4) + 83cos(pi4) = 163(raiz22) + 83(raiz22) = 24raiz26 = 4raiz2 :
163 - 4raiz2
Para :
Então, a integral total é:

Resposta

A integral dupla vale .

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