Calcule as integrais duplas e triplas.
, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 4 e as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você mencionou! A gente precisa calcular sobre a região que está no primeiro quadrante, limitada pelo círculo e pelas retas e . Aqui, vamos usar o conteúdo de integrais duplas e coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . No primeiro quadrante, o círculo tem raio 2. As retas (eixo y) e definem os limites dessa região. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares onde:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para e :
  • varia de (linha ) até (eixo y).
  • Para cada , vai de 0 até 2 (raio do círculo).
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Combinando, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a integral total é:

Resposta

A integral dupla vale .

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Entre os paraboloides e e dentro do cilindro .