Calcule as integrais duplas e triplas.
Entre os paraboloides e e dentro do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as integrais duplas e triplas entre dois paraboloides, e , e dentro do cilindro . Isso está dentro da matéria de cálculo integral multivariado, especificamente integrais duplas e triplas em coordenadas cartesianas e possivelmente cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a região onde os dois paraboloides se interceptam dentro do cilindro . Para isso, igualamos as duas equações dos paraboloides:
Simplificando:
Mas como o cilindro é , que é menor que , a interseção dentro do cilindro ocorre para .

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando dentro de um cilindro, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Lembrando que , e . O cilindro passa a ser . Assim, os limites de são de 0 a 1, e de 0 a .

Passo 4

Vamos determinar as funções superiores e inferiores para . O paraboloide inferior é e o superior é . Em coordenadas cilíndricas:

Passo 5

Para a integral dupla, que pode representar a área da região projetada no plano , temos:
Vamos calcular:

Passo 6

Para a integral tripla, que representa o volume entre os paraboloides dentro do cilindro, configuramos:
Substituindo e :
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:

Passo 7

Agora, a integral tripla simplificada fica:
Vamos integrar em relação a :
Então, a integral tripla é:

Resposta

A integral dupla é e a integral tripla é .

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, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 4 e as retas e .