Calcule as integrais duplas e triplas.
Entre os paraboloides
e
e dentro do cilindro
.
Entre os paraboloides
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as integrais duplas e triplas entre dois paraboloides,
e
, e dentro do cilindro
. Isso está dentro da matéria de cálculo integral multivariado, especificamente integrais duplas e triplas em coordenadas cartesianas e possivelmente cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a região onde os dois paraboloides se interceptam dentro do cilindro
. Para isso, igualamos as duas equações dos paraboloides:
Simplificando:
Mas como o cilindro é
, que é menor que
, a interseção dentro do cilindro ocorre para
.
Passo 3
Agora, como estamos trabalhando dentro de um cilindro, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Lembrando que
,
e
. O cilindro
passa a ser
. Assim, os limites de
são de 0 a 1, e
de 0 a
.
Passo 4
Vamos determinar as funções superiores e inferiores para
. O paraboloide inferior é
e o superior é
. Em coordenadas cilíndricas:
Passo 5
Para a integral dupla, que pode representar a área da região projetada no plano
, temos:
Vamos calcular:
Passo 6
Para a integral tripla, que representa o volume entre os paraboloides dentro do cilindro, configuramos:
Substituindo
e
:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Passo 7
Agora, a integral tripla simplificada fica:
Vamos integrar em relação a
:
Então, a integral tripla é:
Resposta
A integral dupla é
e a integral tripla é
.
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, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
4 e as retas
e
.