Calcule as integrais duplas e triplas.
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Essa é uma questão de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender os limites de integração e a função a ser integrada. Para resolver, vamos utilizar a troca da ordem de integração e fazer uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para de 0 a e, para cada , vai de a . Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no plano .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos trocar a ordem de integração. Assim, integral0^raizpi integral0^x cos (x^2) , dy , dx vai de 0 a e, para cada , vai de 0 a . A integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^x cos (x^2) , dy = cos (x^2) cdot y |0^x = cos (x^2) cdot x . Como integral0^raizpi x cos (x^2) , dx não depende de , a integral com respeito a é simplesmente:
Então, a integral dupla se reduz a:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral0^raizpi x cos (x^2) , dx = 12 integral0^pi cos(u) , du
Aqui, ajustamos os limites de integração: quando , ; quando , .

Passo 7

Agora, vamos integrar 12 integral0^pi cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^pi = 12 ( sin(pi) - sin(0) ) em relação a :

Passo 8

Sabemos que 12 ( 0 - 0 ) = 0 e , portanto:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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