Vamos resolver a integral dupla . Essa é uma questão de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender os limites de integração e a função a ser integrada. Para resolver, vamos utilizar a troca da ordem de integração e fazer uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para de 0 a e, para cada , vai de a . Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no plano .
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos trocar a ordem de integração. Assim, vai de 0 a e, para cada , vai de 0 a . A integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a . Como não depende de , a integral com respeito a é simplesmente:
Então, a integral dupla se reduz a:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então , ou seja, .
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
integral0^raizpi x cos (x^2) , dx = 12 integral0^pi cos(u) , du
Aqui, ajustamos os limites de integração: quando , ; quando , .
Passo 7
Agora, vamos integrar 12 integral0^pi cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^pi = 12 ( sin(pi) - sin(0) ) em relação a :