Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral 1-5 xx^3-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais em partes mais simples, facilitando a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e identificar os coeficientes das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) . Podemos colocar 1 - 5xx(x - 1)(x + 1) em evidência:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
1 - 5xx(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 - 5x = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos os termos do lado direito:
1 - 5x = A(x^2 - 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)
1 - 5x = A x^2 - A + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx
Agrupamos os termos semelhantes:
1 - 5x = (A + B + C)x^2 + (B - C)x - A

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de A + B + C = 0 B - C = -5 - A = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
- A = 1 Rightarrow A = -1
Substituindo -1 + B + C = 0 Rightarrow B + C = 1 na primeira equação:
B - C = -5
Da segunda equação:
B + C = 1 B - C = -5
Agora, temos:
2B = -4 Rightarrow B = -2
Somando as duas equações:
-2 + C = 1 Rightarrow C = 3
Substituindo na equação :

Passo 8

Agora que temos os valores de 1 - 5xx(x - 1)(x + 1) = -1x + -2x - 1 + 3x + 1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 1 - 5xx^3 - x , dx = integral ( -1x - 2x - 1 + 3x + 1 ) dx
Integrando termo a termo:
= -ln|x| - 2ln|x - 1| + 3ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral 1 - 5xx^3 - x , dx = -ln|x| - 2ln|x - 1| + 3ln|x + 1| + C

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