Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais em partes mais simples, facilitando a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e identificar os coeficientes das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos os termos do lado direito:
Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :

Passo 8

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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