Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais em partes mais simples, facilitando a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e identificar os coeficientes das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos os termos do lado direito:
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :
Passo 8
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais: