Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais em partes mais simples, facilitando a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e identificar os coeficientes das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos os termos do lado direito:
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
- A = 1 Rightarrow A = -1
Substituindo -1 + B + C = 0 Rightarrow B + C = 1 na primeira equação:
B - C = -5
Da segunda equação:
B + C = 1 B - C = -5
Agora, temos:
2B = -4 Rightarrow B = -2
Somando as duas equações:
-2 + C = 1 Rightarrow C = 3
Substituindo na equação :
Passo 8
Agora que temos os valores de 1 - 5xx(x - 1)(x + 1) = -1x + -2x - 1 + 3x + 1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 9
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 1 - 5xx^3 - x , dx = integral ( -1x - 2x - 1 + 3x + 1 ) dx
Integrando termo a termo:
= -ln|x| - 2ln|x - 1| + 3ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.
Resposta
integral 1 - 5xx^3 - x , dx = -ln|x| - 2ln|x - 1| + 3ln|x + 1| + C