Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral d xx^4-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método de frações simples, que é uma técnica pra dividir frações complicadas em partes mais fáceis de integrar. Pra isso, vamos precisar fatorar o denominador e achar constantes que simplifiquem a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) . Dá pra tirar um x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) de fator comum:
x^4 - x^2 = x^2(x - 1)(x + 1)
E o é uma diferença de quadrados, então:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 1x^2(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1 + Dx + 1 como uma soma de frações mais simples. A gente assume a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para achar 1 = A cdot x(x - 1)(x + 1) + B cdot (x - 1)(x + 1) + C cdot x^2(x + 1) + D cdot x^2(x - 1) , 1 = B cdot (-1)(1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 , 1 = C cdot 1^2(2) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12 e 1 = D cdot (-1)^2(-2) Rightarrow 1 = -2D Rightarrow D = -12 , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 = A cdot 2(1)(3) + (-1)(1)(3) + 12 cdot 4 cdot 3 + -12 cdot 4 cdot 1 para eliminar os denominadores:
1 = 6A - 3 + 6 - 2
Agora, vamos escolher valores de 1 = 6A + 1 Rightarrow 6A = 0 Rightarrow A = 0 que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Para encontrar , podemos usar qualquer outro valor de , digamos :

Passo 5

Agora que temos os valores das constantes, podemos escrever a decomposição em frações simples:
1x^2(x - 1)(x + 1) = 0x + -1x^2 + 12x - 1 + -12x + 1
Simplificando:
1x^2(x - 1)(x + 1) = -1x^2 + 12(1x - 1 - 1x + 1)

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx^4-x^2 = integral (-1x^2 + 12(1x - 1 - 1x + 1)) dx
Integrando termo a termo:
-integral 1x^2 dx + 12 integral 1x - 1 dx - 12 integral 1x + 1 dx
As integrais são:
1x + 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral dxx^4-x^2 = 1x + 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C

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