Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método de frações simples, que é uma técnica pra dividir frações complicadas em partes mais fáceis de integrar. Pra isso, vamos precisar fatorar o denominador e achar constantes que simplifiquem a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Dá pra tirar um de fator comum:
E o é uma diferença de quadrados, então:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. A gente assume a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para achar , , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Para encontrar , podemos usar qualquer outro valor de , digamos :

Passo 5

Agora que temos os valores das constantes, podemos escrever a decomposição em frações simples:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
As integrais são:
onde é a constante de integração.

Resposta

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