Calcule as integrais.
f) integral duplaD x d x d y onde D é a região limitada pela cardióide r=1-cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde é a região limitada pela cardiode . A gente vai usar cálculo em coordenadas polares para facilitar a resolução, já que a região está definida nessa forma. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e lembrar de algumas fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por x = r cos theta e y = r sin theta (distância ao centro) e dx , dy = r , dr , dtheta (ângulo com o eixo positivo integral duplaD r cos theta cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^2 cos theta , dr , dtheta ). As relações para converter e são:
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Então, nossa integral vira:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região theta: 0 a 2pi é limitada pela cardiode r: 0 a 1 - cos theta . Para integral0^2pi integral0^1 - cos theta r^2 cos theta , dr , dtheta , como a cardiode completa uma figura fechada quando vai de a , nossos limites serão:
E para cada , varia de a :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 - cos theta r^2 cos theta , dr :
cos theta integral0^1 - cos theta r^2 , dr
Como integral r^2 , dr = r^33 é constante em relação a cos theta ( (1 - cos theta)^33 - 0 ) = cos theta (1 - cos theta)^33 , podemos tirar de fora:
Integrando :
Avaliado de a :

Passo 5

Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
integral0^2pi cos theta (1 - cos theta)^33 , dtheta = 13 integral0^2pi cos theta (1 - cos theta)^3 , dtheta
Vamos expandir (1 - cos theta)^3 = 1 - 3cos theta + 3cos^2 theta - cos^3 theta usando a fórmula do binômio:
cos theta - 3cos^2 theta + 3cos^3 theta - cos^4 theta
Multiplicando por 13 integral0^2pi (cos theta - 3cos^2 theta + 3cos^3 theta - cos^4 theta) , dtheta :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
  1. 13 ( 0 - 3pi + 0 - 3pi4 ) = 13 ( -15pi4 ) = -5pi4 (porque o seno de e 0 é o mesmo)
  2. (usando a identidade )
  3. (simetria da função ímpar)
  4. (usando identidades trigonométricas para potências pares)
Substituindo:

Resposta

A integral vale .

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Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) y^2 = 4 x e x^2 + y^2 = 5.
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) 0 <= z <= 4 x e x^2 + y^2 <= 16
Calcule as integrais impróprias:
a) integral0^infty integral0^infty e^-(x+y) d x d y
Calcule as integrais impróprias:
f) integral duplaD ln raizx^2+y^2 d x d y, D: x^2+y^2 <= 1