Calcule as integrais.
f)
onde
é a região limitada pela cardióide
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde
é a região limitada pela cardiode
. A gente vai usar cálculo em coordenadas polares para facilitar a resolução, já que a região está definida nessa forma. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e lembrar de algumas fórmulas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por
(distância ao centro) e
(ângulo com o eixo positivo
). As relações para converter
e
são:
E o elemento de área
em coordenadas polares vira:
Então, nossa integral
vira:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região
é limitada pela cardiode
. Para
, como a cardiode completa uma figura fechada quando
vai de
a
, nossos limites serão:
E para cada
,
varia de
a
:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar de fora:
Integrando
:
Avaliado de
a
:
Passo 5
Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
Vamos expandir
usando a fórmula do binômio:
Multiplicando por
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
-
(porque o seno de e 0 é o mesmo) -
(usando a identidade ) -
(simetria da função ímpar) -
(usando identidades trigonométricas para potências pares)
Substituindo:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) e
.
d)
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) e
e)
Calcule as integrais impróprias:
a)
a)
Calcule as integrais impróprias:
f)
f)