Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e)
e
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sólido definido pelas condições
e
. Isso significa que queremos desenhar esse sólido e calcular o seu volume. Para isso, vamos precisar utilizar conhecimentos de geometria e cálculo integral, especificamente integrais duplas para determinar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições dadas:
-
: Isso descreve um círculo no plano com raio 4, já que . Então, estamos lidando com todos os pontos dentro ou na borda desse círculo. -
: Isso define a altura do sólido. Para cada ponto dentro do círculo, varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido. No plano
, temos um círculo de raio 4. A variável
depende de
, o que significa que a altura do sólido aumenta à medida que
aumenta. Isso cria uma espécie de “telhado” inclinado sobre o círculo.
Passo 4
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume
é:
No nosso caso:
Então, a integral fica:
Passo 5
A região
é o círculo
. Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares, onde:
Como
aparece na função, isso vai simplificar a integral.
Passo 6
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Isso significa que o volume
é:
Resposta
O volume do sólido é 0.
Exercícios relacionados
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b) e
.
b)
Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro e abaixo da esfera
. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano
.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) e
.
d)
Calcule as integrais.
f) onde
é a região limitada pela cardióide
.
f)