Calcule as integrais impróprias:
a) integral0^infty integral0^infty e^-(x+y) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla imprópria integral0^infty integral0^infty e^-(x+y) , dx , dy. Aqui estamos trabalhando com integrais múltiplas e funções exponenciais. Para resolver, vamos separar a integral em partes menores e usar propriedades básicas das integrais.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função e^-(x+y) pode ser escrita como e^-x cdot e^-y. Isso é útil porque permite separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em relação a x e outra em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular a integral em relação a x:
integral0^infty e^-x , dx
A integral de e^-x de 0 até infty é uma integral conhecida e seu resultado é 1.

Passo 4

Agora, calculamos a integral em relação a y:
integral0^infty e^-y , dy
Assim como a integral anterior, essa também resulta em 1.

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais simples, temos 1 times 1 = 1. Portanto, o valor da integral dupla é 1.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais.
f) integral duplaD x d x d y onde D é a região limitada pela cardióide r=1-cos theta.
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) y^2 = 4 x e x^2 + y^2 = 5.
Calcule as integrais impróprias:
f) integral duplaD ln raizx^2+y^2 d x d y, D: x^2+y^2 <= 1
Calcule as integrais triplas:
c) integral triplaD x y^2 z^3 d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1