Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d) y^2 = 4 x e x^2 + y^2 = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e usando integral dupla. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar áreas de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. A curva representa uma parábola que abre para a direita. Já a equação é a equação de um círculo com raio centrado na origem.

Passo 3

Para encontrar a área da região limitada por essas curvas, precisamos determinar os pontos de interseção delas. Assim, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Então, temos duas soluções:
Como não faz sentido no contexto da parábola (já que deve ser positivo ou zero), consideramos apenas .

Passo 5

Para , encontramos :
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área entre as curvas. Observamos que para variando de a , a parábola está abaixo do círculo. Assim, podemos expressar a área como:
No entanto, uma abordagem mais simples é usar coordenadas polares devido à simetria circular.

Passo 7

Convertendo as equações para coordenadas polares:
Para a parábola :
Para o círculo :

Passo 8

Determinar os limites de integração. Encontramos que os limites angulares vão de a onde as curvas se intersectam.

Passo 9

A área pode ser calculada usando a integral dupla em coordenadas polares:

Passo 10

Resolvendo a integral:
Após calcular a integral, obtemos o valor da área delimitada pelas curvas.

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é .

Exercícios relacionados

Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) 0 <= z <= 4 x e x^2 + y^2 <= 16
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b) x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 <= z <= -2 x - y + 4.
Calcule as integrais.
f) integral duplaD x d x d y onde D é a região limitada pela cardióide r=1-cos theta.
Calcule as integrais impróprias:
a) integral0^infty integral0^infty e^-(x+y) d x d y