Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
d)
e
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
usando integral dupla. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar áreas de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. A curva
representa uma parábola que abre para a direita. Já a equação
é a equação de um círculo com raio
centrado na origem.
Passo 3
Para encontrar a área da região limitada por essas curvas, precisamos determinar os pontos de interseção delas. Assim, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Então, temos duas soluções:
Como
não faz sentido no contexto da parábola
(já que
deve ser positivo ou zero), consideramos apenas
.
Passo 5
Para
, encontramos
:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área entre as curvas. Observamos que para
variando de
a
, a parábola está abaixo do círculo. Assim, podemos expressar a área
como:
No entanto, uma abordagem mais simples é usar coordenadas polares devido à simetria circular.
Passo 7
Convertendo as equações para coordenadas polares:
Para a parábola
:
Para o círculo
:
Passo 8
Determinar os limites de integração. Encontramos que os limites angulares vão de
a
onde as curvas se intersectam.
Passo 9
A área
pode ser calculada usando a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Após calcular a integral, obtemos o valor da área delimitada pelas curvas.
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
.
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e) e
e)
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.
b)
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f) onde
é a região limitada pela cardióide
.
f)
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a)
a)