Calcule as integrais fazendo a substituição necessária. integral sen^2(3 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular a integral de sen^2(3 x) cos (3 x) d x. Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição simples que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que sen(3x) está sendo elevada ao quadrado e multiplicada por cos(3x). Vamos fazer a substituição:
Seja u = sen(3x).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
dudx = 3 cos(3x)
Então, isolando dx:
du = 3 cos(3x) dx
Rightarrow cos(3x) dx = du3

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral sen^2(3 x) cos (3 x) d x = integral u^2 cdot du3
Podemos colocar a constante 13 fora da integral:
= 13 integral u^2 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^2 com relação a u:
integral u^2 du = u^33 + C
Portanto,
13 integral u^2 du = 13 cdot u^33 + C = u^39 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a função original:
u^39 + C = sen^3(3x)9 + C

Resposta

A integral é igual a dfracsen^3(3x)9 + C, onde C é a constante de integração.

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