Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular a integral de . Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição simples que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que está sendo elevada ao quadrado e multiplicada por . Vamos fazer a substituição:
Seja .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Então, isolando :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Podemos colocar a constante fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar com relação a :
Portanto,

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta para a função original:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule o valor a ser pago para 37 litros de gasolina, utilizando a fórmula estabelecida por você.
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(a) .
Demonstrar que .