Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral indefinida usando uma substituição. O conteúdo envolve cálculo de integrais por substituição, e vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição que foi sugerida: . Essa escolha ajuda a simplificar o argumento do seno na integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial . Derivando em relação a :
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de e :

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Então:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta pela expressão em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(a) .