Demonstrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 0. Vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Mas precisamos ter cuidado com o sinal de
. Como estamos considerando
se aproximando de 0, podemos assumir
positivo para simplificar:
Passo 4
Sabemos que quando
se aproxima de 0, tanto
quanto
também se aproximam de 0. Ou seja:
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Assim:
Resposta
Portanto,
.