Demonstrar que lim x 0 x sen 1 / x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, -1 <= sin(1x) <= 1 , sempre está entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x <= x cdot sin(1x) <= x . Mas precisamos ter cuidado com o sinal de . Como estamos considerando se aproximando de 0, podemos assumir positivo para simplificar:

Passo 4

Sabemos que quando limx to 0 -x = 0 e limx to 0 x = 0 se aproxima de 0, tanto quanto também se aproximam de 0. Ou seja:

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Assim:
limx to 0 x cdot sin(1x) = 0

Resposta

Portanto, .

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