Demonstrar que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre está entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por . Mas precisamos ter cuidado com o sinal de . Como estamos considerando se aproximando de 0, podemos assumir positivo para simplificar:

Passo 4

Sabemos que quando se aproxima de 0, tanto quanto também se aproximam de 0. Ou seja:

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Assim:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(a) .
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Calcule as integrais por integração por partes.
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(g) .