Calcule as integrais impróprias.
(b) integral4^7 1raiz[3]x-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria aí! A gente tem que calcular . Isso tá dentro do assunto de cálculo de integrais impróprias, que são aquelas onde a função tem algum ponto problemático no intervalo de integração. Vamos precisar entender como lidar com integrais onde o integrando aponta para o infinito em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: . Podemos reescrever isso como . Agora, percebemos que quando se aproxima de 4, o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a função tenda ao infinito. Isso significa que a integral é imprópria no limite inferior, ou seja, em .

Passo 3

Para resolver uma integral imprópria, a gente usa o conceito de limite. Vamos reescrever a integral usando um limite quando integral4^7 1raiz[3]x-4 , dx = lima to 4^+ integrala^7 (x - 4)^-1/3 , dx se aproxima de 4 pelo lado positivo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral indefinida de integral (x - 4)^n , dx = (x - 4)^n+1n+1 + C . Para isso, usamos a regra da potência:
integral (x - 4)^-1/3 , dx = (x - 4)^2/32/3 + C = 32 (x - 4)^2/3 + C
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de integrala^7 (x - 4)^-1/3 , dx = 32 (7 - 4)^2/3 - 32 (a - 4)^2/3 a 7:
= 32 times 3^2/3 - 32 (a - 4)^2/3
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando lima to 4^+ ( 32 times 3^2/3 - 32 (a - 4)^2/3 ) se aproxima de 4:
= 32 times 3^2/3 - 0 = 32 times 3^2/3
Note que tende a zero quando tende a 4. Então, o segundo termo desaparece:

Resposta

Portanto, a integral imprópria é igual a .

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