Calcule as integrais impróprias.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria aí! A gente tem que calcular
. Isso tá dentro do assunto de cálculo de integrais impróprias, que são aquelas onde a função tem algum ponto problemático no intervalo de integração. Vamos precisar entender como lidar com integrais onde o integrando aponta para o infinito em algum ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando:
. Podemos reescrever isso como
. Agora, percebemos que quando
se aproxima de 4, o denominador
se aproxima de zero, o que faz com que a função tenda ao infinito. Isso significa que a integral é imprópria no limite inferior, ou seja, em
.
Passo 3
Para resolver uma integral imprópria, a gente usa o conceito de limite. Vamos reescrever a integral usando um limite quando
se aproxima de 4 pelo lado positivo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral indefinida de
. Para isso, usamos a regra da potência:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a 7:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 4:
Note que
tende a zero quando
tende a 4. Então, o segundo termo desaparece:
Resposta
Portanto, a integral imprópria é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre o valor médio da função no intervalo dado. Faço um esboço da função neste intervalo e marque este ponto no gráfico. Use este valor para obter um retângulo com área equivalente à área sob o gráfico da função dada.
(b) ,
(b)
Calcule as seguintes integrais definidas
(f)
(f)
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(b) Se é uma função decrescente em
, então
é convergente?
(b) Se
Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(e)
(e)