Calcule as seguintes integrais definidas
(f) integral-2^3|1+x|+|2-x| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com funções de valor absoluto e cálculo de integrais. Para resolver isso, precisamos identificar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, o que nos ajudará a dividir a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde x = -1 e x = 2 mudam de sinal.
Para :
Para :
Esses pontos ( e ) dividem o intervalo de integração em três partes:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo separadamente para eliminar os valores absolutos.
  1. Intervalo |1 + x| = -(1 + x) = -1 - x :
    • |2 - x| = 2 - x (porque integral-2^-1 (-1 - x) + (2 - x) , dx = integral-2^-1 1 - 2x , dx ) |1 + x| = 1 + x
    • |2 - x| = 2 - x (porque integral-1^2 (1 + x) + (2 - x) , dx = integral-1^2 3 , dx ) |1 + x| = 1 + x
    Portanto, a integral neste intervalo fica:
    |2 - x| = -(2 - x) = x - 2
  2. Intervalo integral2^3 (1 + x) + (x - 2) , dx = integral2^3 2x - 1 , dx :
    • (porque )
    • (porque )
    Portanto, a integral neste intervalo fica:
  3. Intervalo :
    • (porque )
    • (porque )
    Portanto, a integral neste intervalo fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de integral-2^-1 1 - 2x , dx = [ x - x^2 ]-2^-1 = ( (-1) - (-1)^2 ) - ( (-2) - (-2)^2 ) = (-1 - 1) - (-2 - 4) = -2 - (-6) = 4 :
    integral-1^2 3 , dx = 3x gr|-1^2 = 3(2) - 3(-1) = 6 + 3 = 9
  2. Integral de integral2^3 2x - 1 , dx = [ x^2 - x ]2^3 = ( 3^2 - 3 ) - ( 2^2 - 2 ) = (9 - 3) - (4 - 2) = 6 - 2 = 4 :
  3. Integral de :

Resposta

Somando os resultados das três integrais:
4 + 9 + 4 = 17
Portanto, o valor da integral é 17.

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