Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício propôs:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, onde o limite superior é infinito. A matéria que vamos usar envolve análise de comportamento de funções no infinito e testes de convergência de integrais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e analisar o comportamento da função conforme cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função dentro da integral. Isso significa que precisamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador:
Como o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (2), vamos fazer a divisão polinomial.
Passo 3
Fazendo a divisão, dividimos por , o que dá . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, a integral original pode ser reescrita como:
Vamos integrar termo por termo.
Passo 5
Integramos cada parte:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Portanto,
Passo 6
Juntando tudo, a antiderivada é:
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando tende ao infinito e subtrair pelo valor em .
Passo 7
Ao calcular o limite quando tende ao infinito:
Isso porque os termos e crescem sem limite conforme aumenta.
Passo 8
Como o limite da antiderivada tende ao infinito, concluímos que a integral: