Calcule as integrais triplas:
c) integral triplaD x y^2 z^3 d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla da função sobre a região , que é um cubo com lados de 0 a 1 em todas as direções. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar a função em relação a , depois a e por último a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1 x y^2 z^3 , dz . Mantendo e constantes, a integral fica:
Aqui, tratamos como constantes e integramos .

Passo 3

Integrando integral z^3 , dz = z^44 + C em relação a z^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 , temos:
Como os limites são de 0 a 1:
Então, a primeira integral resulta em .

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 14 x y^2 , dy :
14 x integral y^2 , dy
Fatorando a constante :

Passo 5

Integrando integral y^2 , dy = y^33 + C em rela��ão a y^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 :
Com limites de 0 a 1:
Então, a segunda integral fica .

Passo 6

Por fim, integramos em relação a integral0^1 112 x , dx :
112 integral x , dx
Fatorando a constante :

Passo 7

Integrando integral x , dx = x^22 + C em relação a x^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 :
Com limites de 0 a 1:
Então, a terceira integral fica .

Resposta

O valor da integral tripla é .

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