Calcule as integrais impróprias
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
. Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem comportamentos extremos no intervalo. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que temos um termo
multiplicando
. Sabemos que a derivada de
é
, o que sugere que podemos usar uma substituição envolvendo
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
- Seja
- Então,
, o que nos dá
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
Vamos calcular os novos limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo os limites, temos:
Agora, integramos
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes PVI:
(h)
(h)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(d)
(d)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)
(e)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(g)
(g)