Calcule as integrais impróprias

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem comportamentos extremos no intervalo. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que temos um termo multiplicando . Sabemos que a derivada de é , o que sugere que podemos usar uma substituição envolvendo .

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
  • Seja
  • Então, , o que nos dá
Agora, substituímos na integral:

Passo 4

Vamos calcular os novos limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo os limites, temos:
Agora, integramos :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Determine a solução dos seguintes PVI:
(h)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(d)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(g)