Calcule as integrais impróprias integral1^infty x e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem comportamentos extremos no intervalo. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que temos um termo multiplicando . Sabemos que a derivada de é , o que sugere que podemos usar uma substituição envolvendo .

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
  • Seja integral1^infty x e^-x^2 , dx = -12 integralu(1)^u(infty) e^u , du
  • Então, , o que nos dá
Agora, substituímos na integral:

Passo 4

Vamos calcular os novos limites de integração:
  • Quando -12 integral-1^-infty e^u , du = 12 integral-infty^-1 e^u , du , 12 [ e^u ]-infty^-1 = 12 ( e^-1 - 0 ) = 12 e^-1
  • Quando ,
Substituindo os limites, temos:
Agora, integramos :

Resposta

A integral vale .

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