Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza! A gente tem que analisar a equação diferencial
. O objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas, que envolvem identificar se existe uma função potencial cuja derivada corresponde aos termos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que multiplicam
e
respectivamente na equação:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata!
Passo 7
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 8
Para integrar
, tratamos
como uma constante:
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que:
Passo 10
Então, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial exata é
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial exata é
, onde
é uma constante.
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Determine a solução dos seguintes PVI:
(h)
(h)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(g)
(g)
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