Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)

Passo 1

Beleza! A gente tem que analisar a equação diferencial . O objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas, que envolvem identificar se existe uma função potencial cuja derivada corresponde aos termos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e que multiplicam e respectivamente na equação:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata!

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Para integrar , tratamos como uma constante:
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:

Passo 10

Então, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial exata é , então:

Resposta

A solução da equação diferencial exata é , onde é uma constante.

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Determine a solução dos seguintes PVI:
(h)
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