Determine a solução dos seguintes PVI:
(h) d y/d x = (x^2 y - y)/(y + 1), y(3) = -1

Passo 1

Vamos resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de primeira ordem. Vamos precisar aplicar métodos de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos reorganizar a equação de forma que possamos separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:
Aqui, conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e :

Passo 5

Calculando as integrais:
  • Do lado esquerdo:
  • Do lado direito:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 6

Vamos combinar as constantes de integração em uma única constante :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Sabendo que , a equação simplifica para:

Passo 8

Substituímos o valor de de volta na equação geral para obter a solução particular do PVI:

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por:

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