Determine a solução dos seguintes PVI:
(h)

Passo 1

Vamos resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de primeira ordem. Vamos precisar aplicar métodos de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos reorganizar a equação de forma que possamos separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:
Aqui, conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e :

Passo 5

Calculando as integrais:
  • Do lado esquerdo:
  • Do lado direito:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 6

Vamos combinar as constantes de integração em uma única constante :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Sabendo que , a equação simplifica para:

Passo 8

Substituímos o valor de de volta na equação geral para obter a solução particular do PVI:

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por:

Exercícios relacionados

Determine a solução dos seguintes PVI:
(d)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(b)
Calcule as integrais impróprias
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)