Determine a solução dos seguintes PVI:
(h)
(h)
Passo 1
Vamos resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de primeira ordem. Vamos precisar aplicar métodos de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos reorganizar a equação de forma que possamos separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Aqui, conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 5
Calculando as integrais:
- Do lado esquerdo:
- Do lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 6
Vamos combinar as constantes de integração em uma única constante
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Sabendo que
, a equação simplifica para:
Passo 8
Substituímos o valor de
de volta na equação geral para obter a solução particular do PVI:
Resposta
A solução do PVI é dada implicitamente por:
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes PVI:
(d)
(d)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(b)
(b)
Calcule as integrais impróprias
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(e)
(e)