Determine a solução dos seguintes PVI:
(d) { (x^2 + 1) dx + (1/y) dy = 0, y(-1) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI). A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial:
Isso envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essa equação para encontrar a função que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial:
Podemos reescrever isso para ficar mais claro:
Isso nos ajuda a separar as variáveis e , que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Mas, na verdade, é mais fácil fazer assim:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados para encontrar uma relação entre e :
Vamos resolver as integrais. No lado esquerdo, é tratado como uma constante em relação a , então temos:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Precisamos agora resolver para . Vamos reorganizar a equação:
Fatorando :
Agora, isolamos :

Passo 6

Por fim, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , . Substituindo esses valores na equação:
Calculando o denominador:
Então:

Resposta

A solução do PVI é:

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