Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral1^infty d xraiz[3]x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral imprópria: integral1^infty dxraiz[3]x. Isso significa que a gente está calculando a área sob a curva da função 1raiz[3]x começando em x=1 e indo até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como calcular limites quando o intervalo de integração vai até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar. Sabemos que raiz[3]x é o mesmo que x^1/3. Então, a integral fica:
integral1^infty dxx^1/3

Passo 3

Agora, uma integral imprópria com limite infinito é resolvida calculando o limite quando o limite de integração superior vai para o infinito. Ou seja, vamos transformar essa integral em:
limb to infty integral1^b dxx^1/3

Passo 4

Vamos calcular a integral indefinida de 1x^1/3. Isso é o mesmo que integrar x^-1/3. A regra básica da integração é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
integral x^-1/3 dx = x^2/323 + C = 32 x^2/3 + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada de 1 a b:
32 b^2/3 - 32 (1)^2/3 = 32 b^2/3 - 32

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( 32 b^2/3 - 32 )
Como b^2/3 cresce sem limite quando b vai para o infinito, o termo 32 b^2/3 também vai para o infinito. Subtraindo uma constante ( 32) não muda isso. Portanto, o limite é infinito.

Resposta

A integral integral1^infty dxraiz[3]x diverge, ou seja, não é integrável no intervalo dado.

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