Resolva a equaçõo de Bernoulli
d/y - y = e^x y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial chamada de Equação de Bernoulli:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos utilizar uma técnica que transforma essa equação em uma equação linear, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Equação de Bernoulli geral:
No seu caso, comparando com a equação geral, temos:

Passo 3

A Equação de Bernoulli não é linear por causa do termo . Para resolver, vamos fazer uma substituição que vai transformar tudo em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Como , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Rearranjando, temos:

Passo 5

Vamos substituir e na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Como , então . Substituindo:
Multiplicando por para simplificar:
Agora temos uma Equação Diferencial Linear na forma:
onde e .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar o Fator Integrante ( ):
Multiplicando toda a equação por :
Isso transforma a equação no lado esquerdo em uma derivada completa:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Isolando :
Lembrando que , então:

Passo 9

Para encontrar , basta inverter a expressão:
Podemos simplificar um pouco mais multiplicando numerador e denominador por :
Ou reorganizando:

Resposta

A solução geral da equação é:

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