Resolva a equaçõo de Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial chamada de Equação de Bernoulli:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos utilizar uma técnica que transforma essa equação em uma equação linear, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a Equação de Bernoulli geral:
No seu caso, comparando com a equação geral, temos:
Passo 3
A Equação de Bernoulli não é linear por causa do termo
. Para resolver, vamos fazer uma substituição que vai transformar tudo em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Como
, então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Rearranjando, temos:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Como
, então
. Substituindo:
Multiplicando por
para simplificar:
Agora temos uma Equação Diferencial Linear na forma:
onde
e
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar o Fator Integrante (
):
Multiplicando toda a equação por
:
Isso transforma a equação no lado esquerdo em uma derivada completa:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Isolando
:
Lembrando que
, então:
Passo 9
Para encontrar
, basta inverter a expressão:
Podemos simplificar um pouco mais multiplicando numerador e denominador por
:
Ou reorganizando:
Resposta
A solução geral da equação é:
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g) ;
g)
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a) ;
a)