Calcule as integrais indefinida
integral sen(3 x) cos (7 x) cos (x) d x

Passo 1

Olá! Vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Vamos precisar simplificar a expressão usando fórmulas trigonométricas antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto cos(A)cos(B) = cos(A + B) + cos(A - B)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
cos(7x)cos(x) = cos(8x) + cos(6x)2
Aplicando essa identidade com e :

Passo 3

Substituímos a expressão simplificada na integral original:
integral sin(3x) cos(7x) cos(x) , dx = integral sin(3x) ( cos(8x) + cos(6x)2 ) , dx
Podemos fatorar o = 12 integral sin(3x) cos(8x) , dx + 12 integral sin(3x) cos(6x) , dx para facilitar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada uma das integrais usando a identidade trigonométrica:
sin(A)cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
Primeiro, para sin(3x)cos(8x) = sin(11x) + sin(-5x)2 = sin(11x) - sin(5x)2 :
sin(3x)cos(6x) = sin(9x) + sin(-3x)2 = sin(9x) - sin(3x)2
Segundo, para :

Passo 5

Substituímos essas simplificações nas integrais:
12 integral sin(3x)cos(8x) , dx + 12 integral sin(3x)cos(6x) , dx = 12 ( 12 integral (sin(11x) - sin(5x)) , dx ) + 12 ( 12 integral (sin(9x) - sin(3x)) , dx )
Simplificando os coeficientes:
= 14 integral sin(11x) , dx - 14 integral sin(5x) , dx + 14 integral sin(9x) , dx - 14 integral sin(3x) , dx

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que:
integral sin(kx) , dx = -cos(kx)k + C
Aplicando isso a cada integral:
= 14 ( -cos(11x)11 + cos(5x)5 - cos(9x)9 + cos(3x)3 ) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin(3x) cos(7x) cos(x) , dx = 14 ( -cos(11x)11 + cos(5x)5 - cos(9x)9 + cos(3x)3 ) + C
Onde é a constante de integração.

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