Use o método integração por partes e calcule.
integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem para resolver a integral usando o método de integração por partes. Integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções, e é baseada na regra do produto da diferenciação. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos derivar ( ) e outra que vamos integrar ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x^3 e dv = e^x^2 , dx e . No método de integração por partes, escolhemos como a parte que se simplifica quando derivamos e como a parte que sabemos integrar facilmente.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(x^3) , dx = 3x^2 , dx e integrar v = integral e^x^2 , dx para encontrar e .
Derivando :
Integrando :
Ops! Aqui encontramos um probleminha. A integral de não pode ser expressa em termos de funções elementares (como polinômios, exponenciais, trigonométricas, etc.). Isso significa que não conseguimos encontrar uma expressão fechada para usando métodos básicos de integração.

Passo 4

Diante dessa situação, percebemos que a escolha inicial para u = x^2 e dv = x e^x^2 , dx e du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx não foi a mais adequada para resolver a integral usando integração por partes. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Vamos redefinir nossas escolhas:
v = integral x e^x^2 , dx
Agora, vamos derivar v = integral e^w cdot dw2 = 12 e^w + C = 12 e^x^2 + C e integrar .
Derivando :
Integrando :
Para integrar , fazemos uma substituição simples: deixe , então ou . Assim:

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 e^x^2 , dx = u cdot v - integral v cdot du = x^2 cdot ( 12 e^x^2 ) - integral ( 12 e^x^2 ) cdot 2x , dx
Simplificando:
= 12 x^2 e^x^2 - integral x e^x^2 , dx
A integral que restou, integral x e^x^2 , dx = 12 e^x^2 + C , já conhecemos de antes:
12 x^2 e^x^2 - 12 e^x^2 + C = 12 e^x^2 (x^2 - 1) + C
Portanto:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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