Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados (x, y) tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
raiz(x) <= y <= 2 e 0 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que formamos ao girar uma região ao redor do eixo y. A região é definida pelos pares ordenados (x, y) que satisfazem raiz(x) <= y <= 2 e 0 <= x <= 4. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cascas cilíndricas, que nos ajudam a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a desigualdade raiz(x) <= y <= 2 representa. Ela define uma região entre a curva e a reta . Além disso, o intervalo 0 <= x <= 4 limita essa região horizontalmente.

Passo 3

Para calcular o volume ao girar essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo y) e somar os volumes desses discos.

Passo 4

Primeiro, precisamos expressar x em função de y para facilitar a integração. A equação pode ser rearranjada para . Assim, nossa função principal será .

Passo 5

O volume de cada disco é dado pela fórmula:
Onde é o raio do disco em função de y. Aqui, é simplesmente a função , então:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 7

Para encontrar o volume total, integramos de y = até y = 2:

Passo 8

Vamos calcular essa integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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