Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que formamos ao girar uma região ao redor do eixo y. A região é definida pelos pares ordenados
que satisfazem
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cascas cilíndricas, que nos ajudam a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a desigualdade
representa. Ela define uma região entre a curva
e a reta
. Além disso, o intervalo
limita essa região horizontalmente.
Passo 3
Para calcular o volume ao girar essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo y) e somar os volumes desses discos.
Passo 4
Primeiro, precisamos expressar x em função de y para facilitar a integração. A equação
pode ser rearranjada para
. Assim, nossa função principal será
.
Passo 5
O volume de cada disco é dado pela fórmula:
Onde
é o raio do disco em função de y. Aqui,
é simplesmente a função
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 7
Para encontrar o volume total, integramos
de y =
até y = 2:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.