Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação das coordenadas
onde
em torno do eixo
.
Aqui, estamos lidando com cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente usando o método dos discos ou dos anéis. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e aplicar a fórmula adequada para volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites de integração.
Temos as equações:
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendо:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, podemos usar o método dos anéis (ou método do disco), que envolve integrar a diferença das áreas dos círculos formados por cada função.
A fórmula geral para o volume é:
Onde
é a função externa e
é a função interna em relação ao eixo de rotação.
Passo 4
No nosso caso,
e
.
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 7
Agora, multiplicamos pelo
para obter o volume final:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.