Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados (x, y) tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
x^2 <= y <= x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume do sólido gerado pela rotação das coordenadas (x, y) onde x^2 <= y <= x em torno do eixo x.
Aqui, estamos lidando com cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente usando o método dos discos ou dos anéis. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e aplicar a fórmula adequada para volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites de integração.
Temos as equações:
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendо:
Então, os limites de integração são de x = 0 a x = 1.

Passo 3

Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo x, podemos usar o método dos anéis (ou método do disco), que envolve integrar a diferença das áreas dos círculos formados por cada função.
A fórmula geral para o volume é:
Onde f(x) é a função externa e g(x) é a função interna em relação ao eixo de rotação.

Passo 4

No nosso caso, e .
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo pi para obter o volume final:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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