Determine lim t infty r(t) onde r(t)=(1t, t^3-t, e^2 t).

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o limite quando vai para o infinito da função vetorial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções componentes e entender como cada parte se comporta quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial: . Quando cresce muito, fica cada vez menor, se aproximando de zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Aqui, temos um polinômio onde o termo de maior grau é . Quando vai para o infinito, os termos de menor grau se tornam desprezíveis em comparação com . Então, basicamente se comporta como , que cresce sem limites.

Passo 4

Por último, vamos olhar para a terceira componente: . A função exponencial cresce muito rápido, e quando o expoente é positivo e tende ao infinito, a função também tende ao infinito.

Resposta

Então, juntando tudo, temos:
limt infty r(t) = (0, infty, infty)

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