Calcule as integrais indefinidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular uma integral indefinida:
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, a gente vai precisar saber como integrar funções do tipo potência, ou seja, funções onde a variável está elevada a alguma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que está dentro da integral. A fração
pode ser reescrita como
. Isso facilita a hora de aplicar a regra da potência para integrais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra básica para integrar potências de
. A fórmula é:
onde
e
é a constante de integração. No nosso caso,
, que não é igual a
, então podemos aplicar a fórmula sem problemas.
Passo 4
Aplicando a regra da potência na nossa integral:
Simplificando os expoentes:
Então fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar mais um pouco:
E lembrando que
, podemos escrever também assim:
Resposta
Portanto, a integral indefinida é:
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Usando a substituição, calcule as integrais.
Um tanque contém inicialmente 120 litros de água salgada. Uma mistura contendo uma concentração de 100 gramas/litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litro/min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Sabendo que inicialmente havia 120 kg de sal no tanque, determine uma função que modele a quantidade de sal no taque após
segundos.
Usando a substituição, calcule as integrais.