Um tanque contém inicialmente 120 litros de água salgada. Uma mistura contendo uma concentração de 100 gramas/litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litro/min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Sabendo que inicialmente havia 120 kg de sal no tanque, determine uma função que modele a quantidade de sal no taque após segundos.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos lá! Temos um tanque que inicialmente contém 120 litros de água salgada com 120 kg de sal. Uma mistura com concentração de 100 gramas de sal por litro está entrando no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a solução bem misturada está saindo do tanque à mesma taxa. Nosso objetivo é encontrar uma função que modele a quantidade de sal no tanque após segundos.
Conteúdo da Matéria
Para resolver esse problema, vamos usar equações diferenciais que modelam a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo. Precisaremos entender conceitos de taxas de entrada e saída e como elas afetam a quantidade total de sal.

Passo 2

Convertendo Unidades de Tempo
Primeiro, vamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. A taxa de entrada e saída está em litros por minuto, mas o tempo está em segundos. Para facilitar os cálculos, vamos converter o tempo para minutos.
Sabemos que:
Portanto,

Passo 3

Definindo as Taxas de Entrada e Saída do Sal
Vamos calcular a quantidade de sal que está entrando e saindo do tanque por minuto.
  • Taxa de Entrada ( ):
    A mistura que entra tem 100 g/L de sal e está entrando a 2 L/min.
  • Taxa de Saída ( í):
    A concentração de sal na solução que sai depende da quantidade atual de sal no tanque. Se é a quantidade de sal no tanque em um dado momento, e o volume do tanque é constante (já que a entrada e saída ocorrem à mesma taxa), a concentração é g/L. Assim:
    í

Passo 4

Montando a Equação Diferencial
A variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída:
í
Substituindo as taxas que calculamos:
Simplificando a Equação:

Passo 5

Resolvendo a Equação Diferencial
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando um fator integrante.
A forma geral da equação é:
Onde:
Calculando o Fator Integrante ( ):
Multiplicando Toda a Equação pelo Fator Integrante:
Isso simplifica para:
Integrando Ambos os Lados:
Isolando :

Passo 6

Aplicando a Condição Inicial
Sabemos que inicialmente, quando , a quantidade de sal no tanque é 120 kg, ou seja, 120.000 gramas.
Substituindo na solução geral:

Passo 7

Escrevendo a Função Final
Substituindo o valor de na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A quantidade de sal no tanque após segundos é dada por:
onde está em gramas e em segundos.

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  • .
  • .
  • .
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