Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(g) integral(e^x+6)^2 e^x d x

Passo 1

Então, a gente tem essa integral aqui: integral(e^x+6)^2 e^x , dx. O que vamos usar pra resolver isso é a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). Basicamente, a ideia é simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar de u a parte complicada que está elevada ao quadrado:
u = e^x + 6
Agora, derivando ambos os lados em relação a x para encontrar du:
dudx = e^x Rightarrow du = e^x , dx

Passo 3

Agora, vamos substituir u e du na integral original. Substituindo:
integral(e^x+6)^2 e^x , dx = integral u^2 , du

Passo 4

A integral integral u^2 , du é mais simples de resolver. Vamos integrá-la:
integral u^2 , du = u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos substituir u de volta pela expressão original em termos de x:
u^33 + C = (e^x + 6)^33 + C

Resposta

A integral é igual a (e^x + 6)^33 + C.

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