Mostre que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas equações envolvendo as funções hiperbólicas seno (
sinh
) e cosseno (cosh
). O objetivo é mostrar que:Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as funções hiperbólicas e como elas se comportam quando somamos múltiplos de
πi
ao seu argumento.Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas
sinh
e cosh
. Elas são definidas usando exponenciais:Essas definições vão nos ajudar a manipular as expressões com facilidade.
Passo 3
Vamos começar mostrando que
.
Substituindo
na definição de
sinh
, temos:Passo 4
Agora, vamos simplificar as exponenciais. Sabemos que
e
, porque
e para
, isso dá
.
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
sinh
:Então, mostramos que
.
Passo 6
Agora, vamos provar que
.
Usando a definição de
cosh
:Passo 7
Já sabemos que:
Substituindo na expressão de
cosh
:Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(d)
(d)
Ponha
. Calcule a derivada de
e determine seus pontos singulares. Dê essa função na forma
.
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(e)
(e)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(g)
(g)