Mostre que senh(z + pi i) = -senh(z) e que cosh(z + pi i) = -cosh(z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas equações envolvendo as funções hiperbólicas seno (sinh) e cosseno (cosh). O objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as funções hiperbólicas e como elas se comportam quando somamos múltiplos de πi ao seu argumento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas sinh e cosh. Elas são definidas usando exponenciais:
Essas definições vão nos ajudar a manipular as expressões com facilidade.

Passo 3

Vamos começar mostrando que .
Substituindo na definição de sinh, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as exponenciais. Sabemos que e , porque e para , isso dá .
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de sinh:
Então, mostramos que .

Passo 6

Agora, vamos provar que .
Usando a definição de cosh:

Passo 7

Já sabemos que:
Substituindo na expressão de cosh:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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