Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(e) integral(x-5) e^(x-5)^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por outra variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição. Observa que dentro do expoente temos u = (x - 5)^2 . Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2(x - 5) em relação a du = 2(x - 5) , dx para achar :
Isso implica que:

Passo 4

Queremos expressar (x - 5) , dx = du2 em termos de . Da equação anterior, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos substituir integral (x - 5) e^(x-5)^2 , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 12 integral e^u , du = 12 e^u + C em relação a é simplesmente . Então, continuando:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 12 e^u + C = 12 e^(x - 5)^2 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

integral (x - 5) e^(x-5)^2 , dx = 12 e^(x - 5)^2 + C

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