Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular a integral indefinida de uma função que envolve uma fração e uma exponencial:
. Vamos usar o método de substituição (ou mudança de variáveis) para resolver isso. Esse método é útil quando a integral tem uma função composta, e a gente consegue simplificar fazendo uma troca de variável que facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, geralmente algo dentro da função exponencial ou que ao derivar simplifique a expressão. Aqui, vamos observar que o expoente é
, então vamos tentar usar isso como nossa nova variável.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Vamos calcular
:
Rearranjando para encontrar
em termos de
:
Mas já sabemos que
, então
. Substituindo isso na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Mas como
, então
e
. Substituindo:
Passo 5
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(g)
(g)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(e)
(e)
Mostre que a função exponencial
é uma bijeção entre a faixa infinita
e o semi-plano superior
.
Recorde a fórmula binomial
e use-a para mostrar que
é uma função contínua em
para
.