Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(i) integral 1x^2 cdot e^1x d x

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a integral indefinida de uma função que envolve uma fração e uma exponencial: integral 1x^2 cdot e^1x dx. Vamos usar o método de substituição (ou mudança de variáveis) para resolver isso. Esse método é útil quando a integral tem uma função composta, e a gente consegue simplificar fazendo uma troca de variável que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, geralmente algo dentro da função exponencial ou que ao derivar simplifique a expressão. Aqui, vamos observar que o expoente é 1x, então vamos tentar usar isso como nossa nova variável.
Vamos definir:
u = 1x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Vamos calcular du/dx:
dudx = -1x^2
Rearranjando para encontrar dx em termos de du:
dx = -x^2 du
Mas já sabemos que u = 1x, então x = 1u. Substituindo isso na expressão de dx:
dx = -(1u)^2 du = -1u^2 du

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral 1x^2 cdot e^1x dx = integral 1x^2 cdot e^u cdot (-1u^2 du)
Simplificando os termos:
= -integral 1x^2 cdot u^2 e^u du
Mas como u = 1x, então x = 1u e x^2 = 1u^2. Substituindo:
= -integral 11u^2 cdot u^2 e^u du = -integral e^u du

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então temos:
- integral e^u du = -e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original x, lembrando que u = 1x:
- e^u + C = - e^1x + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 1x^2 cdot e^1x dx = -e^1x + C

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(g) integral(e^x+6)^2 e^x d x
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Mostre que a função exponencial e^z é uma bijeção entre a faixa infinita {z: 0 < Im(z) < pi} e o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}.
Recorde a fórmula binomial (x+y)^n=sumi=0^nbinomni x^n-i y^i e use-a para mostrar que f(z)=z^n é uma função contínua em C para n in N.