Recorde a fórmula binomial
e use-a para mostrar que
é uma função contínua em
para
.
Passo 1
Neste exercício, vamos mostrar que a função
é contínua no conjunto dos números complexos
, onde
é um número natural. Para fazer isso, vamos usar a fórmula binomial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Em termos simples, uma função é contínua se, quando você aproxima o valor de
de um ponto
, o valor de
também se aproxima de
. Ou seja, não há “saltos” ou “quebras” no gráfico da função.
Passo 3
Vamos considerar um ponto
em
e analisar o limite de
quando
se aproxima de
. Queremos provar que:
Passo 4
Para isso, vamos escrever
como
, onde
é uma pequena variação (ou seja,
tende a zero). Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula binomial para expandir
:
Passo 6
Observamos que, à medida que
tende a zero, os termos que contêm
com
também tendem a zero. Portanto, o único termo que sobra no limite é quando
:
Resposta
Assim, mostramos que
, o que prova que
é contínua em
para todo
.
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é uma bijeção entre a faixa infinita
e o semi-plano superior
.
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(i)
(i)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(j)
(j)
Defina o seno e o co-seno complexos por
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma
. Mostre que essas funções são periodicas e determine seus periodos. Ache os zeros dessas funções.