Recorde a fórmula binomial (x+y)^n=sumi=0^nbinomni x^n-i y^i e use-a para mostrar que f(z)=z^n é uma função contínua em C para n in N.

Passo 1

Neste exercício, vamos mostrar que a função é contínua no conjunto dos números complexos , onde é um número natural. Para fazer isso, vamos usar a fórmula binomial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Em termos simples, uma função é contínua se, quando você aproxima o valor de de um ponto , o valor de também se aproxima de . Ou seja, não há “saltos” ou “quebras” no gráfico da função.

Passo 3

Vamos considerar um ponto limz to z0 z^n = z0^n em e analisar o limite de quando se aproxima de . Queremos provar que:

Passo 4

Para isso, vamos escrever z^n = (z0 + h)^n como , onde é uma pequena variação (ou seja, tende a zero). Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula binomial para expandir (z0 + h)^n = sumi=0^n binomni z0^n-i h^i :

Passo 6

Observamos que, à medida que limh to 0 (z0 + h)^n = z0^n tende a zero, os termos que contêm com também tendem a zero. Portanto, o único termo que sobra no limite é quando :

Resposta

Assim, mostramos que , o que prova que é contínua em para todo .

Exercícios relacionados

Mostre que a função exponencial e^z é uma bijeção entre a faixa infinita {z: 0 < Im(z) < pi} e o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}.
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(i) integral 1x^2 cdot e^1x d x
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(j) integral raiz3 x+4 d x
Defina o seno e o co-seno complexos por
cos(z) = 1/2 (e^(i z) + e^(-i z)) sen(z) = 1/(2i) (e^(i z) - e^(-i z))
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma u + i v. Mostre que essas funções são periodicas e determine seus periodos. Ache os zeros dessas funções.