Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral x-1x^2-2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida usando o método da substituição. Para isso, vamos precisar conhecer o processo de substituição em integrais, além de saber fatorar expressões algébricas e calcular derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador x^2 - 2x = x(x - 2) . Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a resolução:

Passo 3

Observamos que o numerador ddx(x^2 - 2x) = 2x - 2 é semelhante à derivada do denominador. Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Perceba que x - 1 = 12(2x - 2) é metade de :
Isso nos ajuda a ajustar a integral para aplicar a substituição.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral substituindo integral x-1x^2-2x , dx = integral 12(2x - 2)x^2-2x , dx = 12 integral 2x - 2x^2-2x , dx por :

Passo 6

Vamos fazer a substituição dudx = 2x - 2 Rightarrow du = (2x - 2) , dx . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
12 integral 2x - 2u , dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C

Passo 8

Finalmente, substituímos 12 ln|x^2 - 2x| + C de volta para obter a resposta em termos de :

Resposta

integral x-1x^2-2x , dx = 12 ln|x^2 - 2x| + C

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