Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método da substituição. Isso faz parte do estudo de integrais na matemática, especificamente a técnica de substituição que ajuda a simplificar a integração de funções compostas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para
, percebemos que o expoente
pode ser nossa substituição.
Vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que vamos chamar de
.
Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, isolamos
na equação anterior.
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original. A integral fica:
Podemos simplificar colocando a constante
fora da integral:
Passo 6
Agora, a integral
é bem direta, já que a integral de
em relação a
é simplesmente
.
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta por
para retornar à variável original
.
Então, temos:
Resposta
A integral indefinida de
é: