Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral e^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método da substituição. Isso faz parte do estudo de integrais na matemática, especificamente a técnica de substituição que ajuda a simplificar a integração de funções compostas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para u = 5x , percebemos que o expoente pode ser nossa substituição.
Vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 5 , dx em relação a , que vamos chamar de .
Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Queremos expressar dx = du5 em termos de . Para isso, isolamos na equação anterior.
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 5

Substituímos integral e^5x , dx = integral e^u cdot du5 e 15 integral e^u , du na integral original. A integral fica:
Podemos simplificar colocando a constante fora da integral:

Passo 6

Agora, a integral 15 e^u + C é bem direta, já que a integral de em relação a é simplesmente .
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos 15 e^5x + C de volta por para retornar à variável original .
Então, temos:

Resposta

A integral indefinida de integral e^5x , dx = 15 e^5x + C é:

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