Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que pede pra calcular uma integral indefinida usando o método da substituição. A integral é:
Vamos precisar entender como funciona a substituição nas integrais e aplicar isso passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para a função, percebemos que o denominador
está relacionado com a parte do numerador
. Então, vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para termos o
. Derivando
:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos resolver para
em termos de
:
Mas lembrando que
(da definição de
), substituímos isso na expressão de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando, percebemos que
, então:
Passo 6
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
: