Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral e^3 x1-e^3 x d x

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que pede pra calcular uma integral indefinida usando o método da substituição. A integral é:
integral e^3x1 - e^3x , dx
Vamos precisar entender como funciona a substituição nas integrais e aplicar isso passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para a função, percebemos que o denominador u = 1 - e^3x está relacionado com a parte do numerador . Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = -3e^3x em relação a du = -3e^3x , dx para termos o . Derivando :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos resolver para dx = du-3e^3x em termos de dx = du-3(1 - u) :
Mas lembrando que (da definição de ), substituímos isso na expressão de :

Passo 5

Agora, substituímos integral e^3x1 - e^3x , dx = integral e^3xu cdot du-3(1 - u) e integral 1 - uu cdot du-3(1 - u) = integral 1u cdot du-3 = -13 integral 1u , du na integral original:
Simplificando, percebemos que , então:

Passo 6

A integral de -13 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos -13 ln|1 - e^3x| + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

integral e^3x1 - e^3x , dx = -13 ln|1 - e^3x| + C

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