Calcule as integrais por integração por partes. integral(x^2+2 x+1) e^7 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é a integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da nossa expressão que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da nossa expressão será u = x^2 + 2x + 1 e dv = e^7x , dx e qual será . Geralmente, escolhemos para ser a parte que fica mais simples quando derivada, e para ser a parte que é fácil de integrar. No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx(x^2 + 2x + 1) , dx = (2x + 2) , dx e v = integral e^7x , dx = 17 e^7x . Derivando em relação a :
E integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral(x^2+2x+1) e^7x , dx = (x^2+2x+1) cdot 17 e^7x - integral 17 e^7x (2x + 2) , dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= 17 (x^2+2x+1) e^7x - 27 integral (x + 1) e^7x , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa parte.

Passo 6

Escolhendo u = x + 1 e dv = e^7x , dx e du = ddx(x + 1) , dx = 1 , dx para a nova integral:
v = integral e^7x , dx = 17 e^7x
Calculando e :

Passo 7

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral (x + 1) e^7x , dx = (x + 1) cdot 17 e^7x - integral 17 e^7x cdot 1 , dx
Simplificando:
= 17 (x + 1) e^7x - 17 integral e^7x , dx
= 17 (x + 1) e^7x - 149 e^7x

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
17 (x^2+2x+1) e^7x - 27 ( 17 (x + 1) e^7x - 149 e^7x )
Distribuindo o = 17 (x^2+2x+1) e^7x - 249 (x + 1) e^7x + 2343 e^7x :

Passo 9

Vamos fatorar = e^7x ( x^2+2x+17 - 2(x + 1)49 + 2343 ) e simplificar os coeficientes:
= e^7x ( 49(x^2+2x+1) - 14(x + 1) + 2343 )
= e^7x ( 49x^2 + 98x + 49 - 14x - 14 + 2343 )
= e^7x ( 49x^2 + 84x + 37343 )
= 49x^2 + 84x + 37343 e^7x

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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