Calcule as integrais por integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é a integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da nossa expressão que vamos chamar de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte da nossa expressão será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
para ser a parte que fica mais simples quando derivada, e
para ser a parte que é fácil de integrar. No nosso caso, vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
. Derivando
em relação a
:
E integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa parte.
Passo 6
Escolhendo
e
para a nova integral:
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o
:
Passo 9
Vamos fatorar
e simplificar os coeficientes:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.