Calcule as integrais por integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é a integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da nossa expressão que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da nossa expressão será e qual será . Geralmente, escolhemos para ser a parte que fica mais simples quando derivada, e para ser a parte que é fácil de integrar. No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e . Derivando em relação a :
E integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa parte.

Passo 6

Escolhendo e para a nova integral:
Calculando e :

Passo 7

Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o :

Passo 9

Vamos fatorar e simplificar os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine os limites abaixo:
n)
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(g) .
Determine os limites abaixo:
o)
Determine os limites abaixo:
x)