Calcule as integrais por integração por partes. integral e^9 x cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^9 x cos (2 x) d x usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui: uma função exponencial e^9x e uma função trigonométrica cos(2x). Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da integração por partes e seguir os passos certinhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. No nosso caso, vamos deixar u = e^9x e dv = cos(2x) dx. Isso porque, ao fazer isso, a derivada de u ( du) e a integral de dv ( v) ficarão mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivada de u = e^9x:
    du = ddx e^9x dx = 9 e^9x dx
  • Integral de dv = cos(2x) dx:
    v = integral cos(2x) dx = 12 sin(2x)

Passo 4

Com esses valores, substituímos na fórmula da integração por partes:
integral e^9x cos(2x) dx = u , v - integral v , du
Substituindo u, v, du:
= e^9x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 9 e^9x dx
Simplificando:
= 12 e^9x sin(2x) - 92 integral e^9x sin(2x) dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^9x sin(2x) dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Desta vez, deixamos:
  • u = e^9x
  • dv = sin(2x) dx
Calculando du e v:
  • du = 9 e^9x dx
  • v = -12 cos(2x)

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
integral e^9x sin(2x) dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= e^9x cdot (-12cos(2x)) - integral (-12cos(2x)) cdot 9 e^9x dx
Simplificando:
= -12 e^9x cos(2x) + 92 integral e^9x cos(2x) dx

Passo 7

Voltando à nossa equação anterior:
integral e^9x cos(2x) dx = 12 e^9x sin(2x) - 92 integral e^9x sin(2x) dx
Substituindo a expressão que encontramos para integral e^9x sin(2x) dx:
= 12 e^9x sin(2x) - 92 ( -12 e^9x cos(2x) + 92 integral e^9x cos(2x) dx )
Distribuindo o -92:
= 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x) - 814 integral e^9x cos(2x) dx

Passo 8

Agora, vamos juntar os termos que contêm a integral integral e^9x cos(2x) dx:
integral e^9x cos(2x) dx + 814 integral e^9x cos(2x) dx = 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x)
Fatorando a integral:
(1 + 814) integral e^9x cos(2x) dx = 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x)
Calculando 1 + 814 = 854:
854 integral e^9x cos(2x) dx = 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x)

Passo 9

Para encontrar a integral original, isolamos integral e^9x cos(2x) dx:
integral e^9x cos(2x) dx = 485 ( 12 e^9x sin(2x) + 94 e^9x cos(2x) ) + C
Simplificando:
= 285 e^9x sin(2x) + 985 e^9x cos(2x) + C

Resposta

A integral integral e^9 x cos (2 x) d x é igual a:
285 e^9x sin(2x) + 985 e^9x cos(2x) + C
onde C é a constante de integração.

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