Calcule as integrais por integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui: uma função exponencial e uma função trigonométrica . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da integração por partes e seguir os passos certinhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . No nosso caso, vamos deixar e . Isso porque, ao fazer isso, a derivada de ( ) e a integral de ( ) ficarão mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Com esses valores, substituímos na fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Desta vez, deixamos:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa equação anterior:
Substituindo a expressão que encontramos para :
Distribuindo o :

Passo 8

Agora, vamos juntar os termos que contêm a integral :
Fatorando a integral:
Calculando :

Passo 9

Para encontrar a integral original, isolamos :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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(e) .
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