Calcule as integrais por integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui: uma função exponencial
e uma função trigonométrica
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da integração por partes e seguir os passos certinhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. No nosso caso, vamos deixar
e
. Isso porque, ao fazer isso, a derivada de
(
) e a integral de
(
) ficarão mais simples para resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
:
Passo 4
Com esses valores, substituímos na fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Desta vez, deixamos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa equação anterior:
Substituindo a expressão que encontramos para
:
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, vamos juntar os termos que contêm a integral
:
Fatorando a integral:
Calculando
:
Passo 9
Para encontrar a integral original, isolamos
:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.