Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função e calcular o limite quando se aproxima de 0. A função é uma função definida por partes, o que significa que ela muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver esse limite, vamos precisar entender como a função se comporta nos arredores de 0, tanto pelo lado esquerdo quanto pelo direito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo, ou seja, quando é menor que 0. Nessa região, a função é dada por:
Então, queremos calcular:
À medida que se aproxima de 0 por valores negativos, o denominador fica cada vez menor em magnitude, mas negativo. Isso faz com que fique cada vez mais negativo, indo para menos infinito. Então:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0 pelo lado direito, ou seja, quando é maior ou igual a 0, mas menor que 1. Nessa região, a função é dada por:
Então, queremos calcular:
Aqui, conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0, já que qualquer número positivo elevado ao quadrado fica cada vez menor. Portanto:
Resposta
Como os limites pelo lado esquerdo e pelo lado direito não são iguais (), concluímos que: