Calcule as integrais por integração por partes. integral x^2 e^-5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral x^2 e^-5 x d x. O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração por partes, uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser u (a função que derivaremos) e qual vai ser dv (a parte que integraremos).

Passo 3

Vamos escolher u = x^2. Assim, a gente precisa calcular du, que é a derivada de u:
u = x^2 implies du = 2x , dx

Passo 4

Agora, vamos escolher dv = e^-5x dx. Para encontrar v, vamos integrar dv:
dv = e^-5x dx implies v = integral e^-5x dx = -15 e^-5x

Passo 5

Agora que temos u, du, v e dv, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^-5x dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores:
= x^2 (-15 e^-5x) - integral (-15 e^-5x) (2x) dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
= -15 x^2 e^-5x + 25 integral x e^-5x dx
Agora, temos uma nova integral integral x e^-5x dx que também vamos resolver por integração por partes.

Passo 7

Para resolver integral x e^-5x dx, vamos escolher novamente:
u = x implies du = dx
dv = e^-5x dx implies v = -15 e^-5x

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x e^-5x dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= x (-15 e^-5x) - integral (-15 e^-5x) dx

Passo 9

Simplificando:
= -15 x e^-5x + 15 integral e^-5x dx
Integrando e^-5x:
integral e^-5x dx = -15 e^-5x
Então:
= -15 x e^-5x - 125 e^-5x

Passo 10

Voltando para a expressão anterior:
-15 x^2 e^-5x + 25 (-15 x e^-5x - 125 e^-5x)
Simplificando:
= -15 x^2 e^-5x - 225 x e^-5x - 2125 e^-5x

Resposta

Então, a integral de x^2 e^-5x dx é:
-15 x^2 e^-5x - 225 x e^-5x - 2125 e^-5x + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados