Calcule as integrais por integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração por partes, uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:

Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser (a função que derivaremos) e qual vai ser (a parte que integraremos).

Passo 3

Vamos escolher . Assim, a gente precisa calcular , que é a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos escolher . Para encontrar , vamos integrar :

Passo 5

Agora que temos , , e , vamos aplicar a fórmula da integração por partes:

Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Agora, temos uma nova integral que também vamos resolver por integração por partes.

Passo 7

Para resolver , vamos escolher novamente:

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Substituindo:

Passo 9

Simplificando:

Integrando :
Então:

Passo 10

Voltando para a expressão anterior:

Simplificando:

Resposta

Então, a integral de é:

onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Demonstrar que .
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(a) .
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(g) .
Determine os limites abaixo:
n)