Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de em relação a . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente, integração de funções que têm uma raiz quadrada e uma expressão mais complexa no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, uma técnica que simplifica a integral ao transformar a variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para , parece uma boa candidata para ser substituída por uma nova variável. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para em termos de . Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a :
Isolando :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Aqui, percebemos que se cancela:

Passo 5

Agora, vamos integrar . Lembrando que a integral de é , desde que :
Multiplicando pelo que estava na frente:

Passo 6

Agora, substituímos de volta em termos de :

Resposta

A integral de em relação a é:

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Determine a localização do centróide do fio.
Encontre o limite ou demonstre que não existe.