Calcule as integrais: integral 1raizx(1+3 raizx)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de em relação a . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente, integração de funções que têm uma raiz quadrada e uma expressão mais complexa no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, uma técnica que simplifica a integral ao transformar a variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para u = 1 + 3raizx , parece uma boa candidata para ser substituída por uma nova variável. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dudx = ddx(1 + 3raizx) = 32x^-1/2 em termos de dx = 23x^1/2 du . Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a :
Isolando :

Passo 4

Vamos substituir integral 1raizx(1+3 raizx)^4 dx = integral 1raizx cdot u^4 cdot 23raizx du e integral 23 cdot 1u^4 du = 23 integral u^-4 du na integral original:
Aqui, percebemos que se cancela:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-4 du = u^-3-3 = -13u^3 . Lembrando que a integral de 23 cdot (-13u^3) = -29u^3 é , desde que :
Multiplicando pelo que estava na frente:

Passo 6

Agora, substituímos -29u^3 = -29(1 + 3raizx)^3 de volta em termos de :

Resposta

A integral de -29(1 + 3raizx)^3 + C em relação a é:

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